Gemeinschaft Rundum Interessierter Phantasievoller Schüler und Studenten

ungelöste mathematische Rätsel

Folgende Probleme habe ich bereits von meinen nicht-deterministischen Fingern auf die deterministische Tastatur übertragen:

Zahlen bemurzen

Kann man jede (positive ganze) Zahl nur durch bemurzen dazu bringen, eins zu werden?

Primonacci-Folge

Eine interessante Variante der Fibonacci-Folge

Finde den Klinz

Klinz(M) := min { n₀ : V n>=n₀ E i₁,...,i_|M| e |N₀ : n=i₁*k₁+...+i_|M|*k_|M| }, mit M := { k₁,...,k_|M| }

Zahlen bemurzen

Auszug aus dem Grips-Heft, Ausgabe 3/96:
Kann man jede (positive ganze) Zahl nur durch bemurzen dazu bringen, eins zu werden?

Dabei ist bemurzen folgendermaßen definiert:
Def. 1.1: Eine gerade Zahl bemurzt man, indem man sie durch zwei teilt, eine ungerade Zahl wird mit drei multipliziert, und dann wird eins addiert.

Beispiel 1.2: Wir bemurzen 17 und erhalten 52, dann 26, dann 13, dann 40, dann 20, dann 10, dann 5, dann 16, dann 8, dann 4, dann 2, dann 1. Juhuu, es hat geklappt.
Eins weiter zu bemurzen ist übrigens recht langweilig, man erhält 4, dann 2 und dann wieder 1.

Bisher wurde noch keine Zahl gefunden, die durch bemurzen nicht irgendwann eins wird (sondern z.B. immer größer, oder vielleicht irgendwann im Kreis rum). Es kann aber passieren, daß Zahlen sehr groß werden, bevor sie sich irgendwann mal dazu bringen, eins zu werden mit der eins.
Bei negativen Zahlen gibt es allerdings noch ein paar Beispiele, die nie eins werden: -3, -8, -4, -2, -1, -2, -1, -2, ...
Oder: -5, -14, -7, -20, -10, -5, ...
Aber auch da sind, so weit ich weiß, nur drei verschiedene "Schleifen" (d.h. vier insgesamt) bekannt, aus denen eine Zahl nicht mehr raus kommt.

Und zum Abschluß bemurzen wir noch die 42: 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Och, wie langweilig, das ging ja ganz schnell. Dann probieren wir wenigstens noch die 27: 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, etc. Aber leider, leider, irgendwann: ...8, 4, 2, 1. Schade eigentlich.

Hat irgendwer eine Idee, wie man dieses Problem lösen kann? Dann Mehl an mich! Besonders gute / schöne / gewitzte / mutige / etc.-ige werden dem gesamten Universum zugängig gemacht!

Primonacci - Folge

Auszug aus dem Grips-Heft, Ausgabe 1/97:
Man nehme die Zahlenfolge:

a₀ = 3,

a₁ = 0,

a₂ = 2,

a_(n+3) = a_n + a_(n+1),

Was hat diese Folge für eine Besonderheit? Nun, wir probieren, ob a_n durch n teilbar ist. Das geht für 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... !!! Und das geht auch so weiter; immer nur für die Primzahlen! Und ganz viele Mathematiker wären ganz glücklich, wenn sie das bewiesen kriegen würden, weil man dann viel schneller ausrechnen könnte, ob eine Zahl prim ist. (Man kann die a_n nämlich auch mit einer Formel direkt aus n ausrechnen; allerdings sieht diese Formel etwas häßlich aus, mit ein paar Wurzeln und so...)

Lösungsansatzbörse: Alle Ideen, Ansätze, Forschungsergebnisse oder auch Mißerfolgsmeldungen bitte zu mir! Vielleicht wird daraus ein Diskussionsforum, in dem wir gemeinsam beweisen, daß GRIPSler eben doch die besseren Mathematiker sind... :-)

Finde den Klinz

Auszug aus dem Grips-Heft, Ausgabe 2/97:
Def. 1.1: Der Klinz einer Menge von lauter teilerfremden natürlichen Zahlen ist, nun ja, man versucht halt mal, alle anderen Zahlen irgendwie als Summe von Vielfachen von Zahlen aus der Menge darzustellen. Und der Klinz ist die Zahl, ab der's dann für jede Zahl geht.
Beispiel 1.2: Wir schnappen uns die Menge {4,7}. Daraus können wir die Zahlen machen:

4=4,	7=7,	8=2*4,	11=4+7,	12=3*4,	14=2*7,	15=2*4+7,
16=4*4,	18=4+2*7,	19=3*4+7,	20=5*4,	21=3*7,	22=2*4+2*7,	23=4*4+7, ...

...ab da scheint's immer zu gehen. Der Klinz wäre also in diesem Fall 18.

Gehen wir nun mal ein bißchen systematischer vor. Also, eine Menge aus einer Zahl hat natürlich keinen Klinz (Anm.: Doch, die Menge {1} !), weil man nur alle Vielfachen von dieser Zahl hinkriegt.
Bei einer Menge von zwei Zahlen, z.B. {a,b}, ist es nicht so arg schwer: Wenn man ein Weilchen rumprobiert, fällt einem vielleicht auf, daß der Klinz immer (a-1)*(b-1) ist. Aber wie das so üblich ist in der Mathematik, paßt der Beweis nicht mehr an den Rand, aber sooo schwer ist er nicht, und wer sich dafür interessiert, kriegt das schon irgendwie hin. ---> Der beste Beweis wird von mir prämiert !

Was jetzt aber wirklich interessant ist, sind Mengen mit mehr Zahlen, bzw. der Klinz davon. Da weiß man nämlich bis heute nicht, wie man den gut ausrechnen kann. Bei drei Zahlen kennt man keine allgemeine Formel, und bei vier oder mehr kennt man noch nicht mal eine gute Methode, den Klinz rauszukriegen.

Weitere Beispiele:
Bei {6, 11, 13} erhält man die Zahlen 6, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, ...; der Klinz ist also 28.
Oder: {11, 16, 21, 23}: 11, 16, 21, 22, 23, 27, 32, 33, 34, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, ... Na endlich! 53 muß wohl hier der Klinz sein (wenn ich (=Immi) mich nicht verrechnet hab')! (Wenn man erst mal 11 Zahlen am Stück gefunden hat, gehen alle höheren natürlich auch...)

"Relativ" einfache Fälle sind übrigens Mengen von der Form { a, a+b, a+2*b } oder auch { a, a+b, a+3*b }. Vielleicht kann man mal versuchen, rauszukriegen, wie man da den Klinz berechnen kann...

Viel Spaß bei der Klinz-Suche wünscht

Irgendwelche Beweise zu diesem Thema bitte an mich mailen! Die schönsten und/oder phantasievollsten kriegen von mir einen freien Werbeplatz!

Und schließlich noch ein Aufruf:

Wenn jemand, egal ob Rittersmann oder Knapp', ob Knappersmann oder Ritt', ob Knippersmann oder Ratt', noch ein ungelöstes mathematisches Problem kennt, das in diese Sparte paßt (also nicht gerade wissenschaftliche Jahreszeitschriften füllt), auch z.B. aus alten Grips-Heften, die ich nicht habe, soll er/sie/es mir doch bitte dasselbe zumailen!

Schanke dön... :-)

http://come.to/cheatah/	Hajo@hadiko.de